Геометрия. Решаем задачи по планиметрии. Практикум: элективный курс

Подробное описание

В последнее время качественно меняются условия выпускных и вступительных экзаменов по математике, приближаясь к более объективной своей форме – тестированию. Такие изменения диктуют и новые методы подготовки к экзаменам. Тестовые задания составляются так, что даже небольшие пробелы в знаниях ведут к существенным потерям в баллах. Геометрия – наиболее уязвимое звено школьной математики. Это связано как с обилием различных типов геометрических задач, так и с многообразием приемов и методов их решения.

При решении геометрических задач обычно используются три основных метода: геометрический – когда требуемое утверждение выводится с помощью логических рассуждений из ряда известных теорем; алгебраический – когда искомая геометрическая величина вычисляется на основании различных зависимостей между элементами геометрических фигур непосредственно или с помощью уравнений; комбинированный – когда на одних этапах решение ведется геометрическим методом,а на других – алгебраическим. Какой бы путь ни был выбран, успешность его использования зависит, естественно, от знания теорем и умения применять их.

В качестве основного метода решения геометрических задач, который стоит освоить и отработать в первую очередь, выступает алгебраический метод. Алгебраический метод, вернее основные его модификации, могут быть в достаточной степени алгоритмизированы. В качестве примера можно привести метод опорного элемента и метод вспомогательного параметра.

Метод опорного элемента является основным методом составления уравнений в геометрических задачах и заключается в следующем: один и тот же элемент (сторона, угол, площадь, радиус и т. д.) выражается через известные и неизвестные величины двумя разными способами, и полученные выражения приравниваются. Довольно часто в качестве опорного элемента выбирают площадь фигуры. Тогда говорят, что для составления уравнения используется метод площадей.

Если в задаче требуется найти отношение каких-либо величин, то, как правило, задача решается методом вспомогательного параметра. Это значит, что в начале решения мы объявляем какую-либо величину известной, обозначив ее, например, буквой а, затем выражаем через а те величины, отношение которых требуется найти. Когда составляется искомое отношение, вспомогательный параметр а сокращается. Метод вспомогательного параметра применяется в задачах, где геометрическая фигура определена с точностью до подобия.

Ставя во главу угла алгебраический метод, следует всегда помнить, что речь идет о геометрической задаче, поэтому работая над ней, следует искать геометрические особенности, учиться смотреть и видеть геометрическую суть.

Кроме вышеперечисленных методов можно назвать еще координатный метод, векторный метод, метод ключевых задач, метод дополнительных построений.

Необходимо научить школьников решению «базисных» (элементарных) задач, то есть тех, которые входят как составные элементы во многие другие задачи. Таковыми являются, например, задачи на отыскание основных элементов треугольника: медианы, высоты, биссектрисы, радиусов вписанной и описанной окружностей. Под элементарными мы будем понимать задачи в одно действие, сделанное на основании известной теоремы или формулы, причем конфигурация, в которой эта формула или теорема применяется, достаточно четко обозначена в условии задачи.

В теоретическую часть школьного курса геометрии включены в основном теоремы, работающие на сам курс, то есть необходимые для его дальнейшего развития. Многие теоремы в известном смысле прикладного характера, областью приложения которых являются задачи, а не теория, из курса исключены.

В связи с этим возникает необходимость в выделении некоторого количества задач, так называемых элементарных (базисных, опорных, ключевых), иллюстрирующих тот или иной часто встречающийся метод или прием решения задач, которые учащийся должен усвоить и освоить. Следует обращать внимание учащихся на «рабочие теоремы», то есть теоремы, которые, с одной стороны, активно используются при решении задач, но с другой стороны, как показывает опыт, либо не всегда рассматриваются при изучении геометрии, либо тщательно не отрабатываются.

Первым и важнейшим этапом решения геометрической задачи является построение чертежа. Нельзя научиться решать достаточно содержательные геометрические задачи, не выработав привычки делать «большой и красивый» чертеж, удовлетворяющий не только формально математическим требованиям, но и известным эстетическим критериям. После построения чертежа следует вспомнить все факты, относящиеся к данным и искомым элементам задачи, а также соотношения между ними.

Таким образом, умение решать геометрические задачи определяется четырьмя слагаемыми:

1. чертеж;
2. метод;
3. владение определенным объемом геометрических фактов и теорем;
4. наличие достаточно активно используемого запаса опорных задач.

Предлагаемое пособие призвано помочь учителям математики при подготовке учащихся к экзаменам по геометрии. Материал курса разбит по темам и систематизирован по видам геометрических фигур и по наборам геометрических теорем и формул, опирающихся на единую доказательную базу, что позволяет выявлять общие подходы к решению геометрических задач при обилии различных их типов и многообразии приемов и методов решения. В начале каждой темы приведены основные факты, необходимые для решения задач. Приводятся также примеры типовых задач с решениями. Кроме того, предлагаются некоторые методы решения геометрических задач, которым в школе по тем или иным причинам не уделяется должного внимания. Предлагаемые в пособии задачи – разной степени трудности, но такие, которые наиболее полезны учителю в методическом плане.

Прежде чем перейти к рассмотрению задач, отметим одну особенность школьного курса, в известной степени затрудняющую процесс обучения: учащиеся большей частью заняты изучением конкретной темы и решением задач по этой теме. Времени на то, чтобы порешать задачи по всему курсу геометрии в целом, практически не остается.

Пособие может быть полезно школьникам, желающим само-стоятельно научиться решать задачи по планиметрии. Оно может быть эффективно использовано учителем для работы на уроках при повторении и обобщении курса геометрии, при подготовке учащихся к ЕГЭ, в качестве дидактического материала при проведении элективных курсов по планиметрии.

Содержание

Введение    3

Программа элективного курса «Решение планиметрических задач»    6

1. Треугольники. Метрические соотношения в треугольниках    13

1.1. Прямоугольный треугольник. Основные понятия и свойства    13

1.2. Произвольные треугольники    22

2. Четырехугольники    52

2.1. Параллелограмм    52

2.2. Трапеция    63

3. Окружности    78

3.1. Свойства касательных, хорд и секущих    78

4. Треугольники и окружности    84

4.1. Окружность, вписанная в треугольник    84

4.2. Окружность, описанная около треугольника    92

5. Четырехугольники и окружности    99

5.1. Окружность, вписанная в ромб    101

Контрольная работа    120

Тесты

Тест 1    131

Тест 2    138

Тест 3    143

Литература    147