Математика. 10-11 классы. Решение уравнений и неравенств с параметрами: элективный курс

Подробное описание

ВВедение

Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Наиболее трудной и важной частью решения таких задач является исследование процесса в зависимости от параметров.

Задачи с параметрами включены в содержание ЕГЭ по математике и очень часто оказываются не по силам обучающимся. Это, вообще говоря, неудивительно, поскольку у большинства учащихся нет должной свободы в общении с параметрами.

Появление таких задач на экзамене далеко не случайно, так как с их помощью проверяется техника владения формулами элементарной математики, методами решения уравнений и неравенств, умение выстраивать логическую цепочку рассуждений (без чего решение задач с параметрами невозможно) и уровень логического мышления учащихся.

Необходимость введения элективного курса «Решение уравнений и неравенств с параметрами» обусловлена тем, что практика вступительных экзаменов далеко оторвалась от школы и достаточно велики «ножницы» между требованиями, которые предъявляет к своему выпускнику школа, и требованиями, которые предъявляет к своему поступающему вуз, особенно вуз высокого уровня.

Настоящее пособие предлагает элективный курс для учащихся 10–11 классов. Цель курса – научить учащихся методам решения задач с параметрами, помочь преодолеть психологический барьер, который обусловлен противоречивыми характеристиками параметра. С одной стороны, параметр в уравнении следует считать величиной известной, а с другой – конкретное значение параметра неизвестно. С одной стороны, параметр является величиной постоянной, а с другой – может принимать различные значения. Получается, что параметр – неизвестная известная, переменная постоянная величина.

В пособии задачи сгруппированы в системы, для каждой из них указаны алгоритмы решений или дан образец рассуждений. Деление материала на уроки условно, деление на темы тоже иногда весьма условно. При подготовке к занятиям учитель вправе сам распределить материал, учитывая уровень подготовленности учащихся.

Содержание

Введение    3

Пояснительная записка    4

Календарно-тематическое планирование    9

Введение

Урок 1. Понятие «уравнения с параметрами»    18

Линейные уравнения, их системы и неравенства с параметром

Урок 2. Решение линейных уравнений с параметрами    25

Урок 3. Решение линейных уравнений с параметрами    31

Урок 4. Решение линейных уравнений с параметрами при наличии дополнительных условий (ограничений) к корням уравнений    33

Уроки 5–6. Решение уравнений, приводимых к линейным    39

Уроки 7–8. Решение систем линейных уравнений (с двумя переменными) с параметрами    44

Урок 9. Решение линейных уравнений и систем линейных уравнений, содержащих параметры    54

Урок 10. Контрольная работа по теме «Линейные уравнения и системы линейных уравнений с параметрами»    57

Урок 11. Решение линейных неравенств с параметрами    62

Урок 12. Решение линейных неравенств с параметрами с помощью графической интерпретации    67

Урок 13. Решение систем линейных неравенств с одной переменной, содержащих параметры    72

Квадратные уравнения и неравенства

Урок 14. Решение квадратных уравнений с параметрами    74

Урок 15. Использование теоремы Виета при решении квадратных уравнений с параметрами    81

Урок 16. Решение уравнений с параметрами, приводимых к квадратным    88

Уроки 17–19. Расположение корней квадратного уравнения в зависимости от параметра    93

Урок 20. Взаимное расположение корней двух квадратных уравнений    108

Урок 21. Контрольная работа по теме «Квадратные уравнения с параметрами»    113

Урок 22. Решение квадратных неравенств    119

Урок 23. Решение неравенств методом интервалов    125

Урок 24. Нахождение заданного количества решений уравнения или неравенства    130

Аналитические и геометрические приемы решения задач с параметрами

Уроки 25–26. Графический метод решения задач с параметрами    133

Урок 27. Применение понятия «пучок прямых на плоскости»    140

Урок 28. Фазовая плоскость    145

Урок 29. Использование симметрии аналитических выражений    149

Урок 30. Решение относительно параметра    157

Урок 31. Область определения помогает решать задачи с параметром    164

Урок 32. Использование метода оценок и экстремальных свойств функции    168

Урок 33. Равносильность при решении задач с параметрами    173

Решение различных видов уравнений и неравенств с параметрами

Урок 34. Решение тригонометрических, показательных, логарифмических и иррациональных уравнений и неравенств    183

Литература    199