Математика. 9-11 классы: моделирование в решении задач

Подробное описание

Введение

Термины «модель» и «моделирование» имеют своим источником латинское слово modus, modulas – мера, образ, способ. В современной образовательной системе моделирование является основным методом научного познания. Вместе с этим моделирование в обучении является и главным средством развития личности, особенно в плане интеллектуализации психической деятельности. Последний момент, к сожалению, пока не учитывается в полной степени в образовательной практике. В проекте общегосударственного стандарта по математике присутствует лишь фраза о том, что выпускник средней школы «должен получить представление о методе математического моделирования как способе научного познания». Между тем в известных выступлениях ученых-математиков академиков – Л. Д. Кудрявцева, М. М. Постникова, и особенно В. И. Арнольда, прозвучали мысли о том, что моделирование является основной целью школьного математического образования и, значит, определяет его содержание. Вместе с этим моделирование должно стать основным методом и способом математической деятельности. Моделирование является ещё и универсальным средством решения проблемных ситуаций в практике. Наконец, как уже было сказано выше, формирование умения моделировать является условием интеллектуального развития.

Категория модели наиболее полно рассматривается в современной философской науке. Известный философ В. А. Штофф выделяет следующие признаки модели [1]:

• между моделью и оригиналом имеется отношение сходства, форма которого явно выражена и зафиксирована (условие отражения);
• модель в процессе научного познания является заместителем изучаемого объекта (условие репрезентативности);
• изучение модели позволяет получить новую информацию об оригинале (условие экстраполяции).

Как ещё говорят, между объектом и его моделью имеет место отношение аналогии (подобия, соответствия, гомоморфизма). Все модели различными авторами делятся на два больших класса: 1) материальные (вещественные, реальные) и 2) идеальные (образные, знаковые). Однако здесь возникают неадекватные интерпретации, например, иногда класс идеальных моделей рассматривается как мысленные объекты, что, на наш взгляд, неверно. Дальнейшее разбиение классов на виды у разных авторов имеет значительные различия. Ситуация осложняется возросшей в последние 15 лет ролью информационных моделей, статус которых постоянно повышается до нового класса, или даже до самого верхнего иерархического надклассового уровня.

В научно-образовательной системе моделирование как учебное действие выполняет следующие функции:

1) познавательная – как средство приобретения новых знаний и умений;

2) эвристическая – как способ решения проблемных ситуаций;

3) иллюстративная – как наглядное средство выделения и фиксации объектов, понятий, фактов, явлений;

4) систематизирующая – как средство упорядочивания и уплотнения системы знаний и умений;

5) развивающая – как средство формирования интеллекта и творческих способностей;

6) эстетическая – как средство воспитания культуры личности.

В современной психологической теории учебно-познавательная деятельность рассматривается с позиции системного подхода, где особое место занимают умственные процессы моделирования, выражающиеся в различных приемах интериоризации и экстериоризации понятий (значений и смыслов). А. Н. Леонтьев [2] установил тождественность внешней (предметной) и внутренней (в умственном плане) мыслительной деятельности, что приводит к проблеме взаимосвязи значения (понятия) и его личностных смыслов, что на наш взгляд представляет отношение внешнего моделируемого объекта и его модели в сознании. В последнее время в трудах В. П. Зинченко [3] и его последователей была озвучен принцип формирования понимания как непрерывного повторяющегося цикла осмысления значения и означения смысла. В психолого-педагогической литературе это получило отражение в виде стратегии интериоризации и экстериоризации в обучении. В этой связи интересно отметить, что четырехэтапная схема формирования умственных действий П. Я. Гальперина через внешнюю материализованную, громкоговорящую, внутриречевую и мысленные формы действий дополняется более совершенной формулой М. М. Бахтина [4]: чужое слово, чужое-своё слово, своё-чужое слово, своё слово. Для школьной практики наибольшее значение имеет вывод, что решение проблемы понимания усваиваемого предметного содержания лежит в плоскости формирования системы умственных действий, которая в свою очередь должна опираться на внешние действия с материальными объектами или их значениями (образами, понятиями).

Как ни парадоксально звучит, но школьники постоянно имеют дело на уроках математики с математическими моделями, даже не догадываясь об этом. Большинство из них полагает, что таковыми являются только наглядные материальные модели шаров, кубов и др. Здесь мы имеем дело с формализмом первого рода (по А. Я. Хинчину), когда имеет место разрыв между реальностью и теорией. В учебном процессе имеет место ещё одна разновидность формализма, когда знания (понятия) отрываются от деятельности (приемов действий). По этой причине выпускники школ не владеют элементарными логическими приемами, хотя большинство из них на материальном уровне фактически используют те же действия за пределами школьных классов в практической деятельности.

Содержание

Введение    3

1. Моделирование в учебно-познавательной деятельности    6

1. Моделирование — общие понятия    6
2. Психофизические предпосылки    7
3. Моделирование и принцип дополнительности    8
4. Математические понятия и моделирование    8
5. Моделирование в обучении    9
6. Жесткие и мягкие модели    10
7. Моделирование и систематизация математических знаний    11
8. Общая схема учебной деятельности моделирования    13

2. Психология моделирования    14

1. Моделирование и психическая деятельность    14
2. Моделирование как аналитико-синтетическая деятельность    20

3. Использование моделей в обучении решению задач    25

1. Моделирование в методике решения текстовых задач    25
2. Приемы моделирования в процессе решения текстовых задач    29

4. Алгебраические модели числовых последовательностей    76

1. Натуральная числовая последовательность    78
2. Последовательность квадратов натуральных чисел    79
3. Сумма кубов натуральной арифметической прогрессии    83
4. Биномиальные числовые последовательности    84
5. Дробно-рациональные последовательности    85
6. Дробно-иррациональные последовательности    88
7. Комбинации арифметической и геометрической прогрессий    89
8. Общие реккурентные последовательности    91

5. Моделирование в стереометрии    95

1. Типовые модели – примеры на построение сечений    95
2. Метод следов в задачах на построение сечений    99

6. Моделирование правильных и полуправильных многогранников    112

7. Векторные модели в геометрических задачах    118

1. Задачи на сложение и вычитание векторов    118
2. Скалярное произведение векторов    125
3. Метрические задачи    127

8. Моделирование с использованием площадей в планиметрии    136

8.1. Определение пропорций длин через отношения площадей    136

8.2. Теоремы Менелая и Чевы и метод площадей    143

8.3. Критерий параллельности в рамках метода площадей    146

8.4.     Некоторые приемы определения отношений площадей    148

9. Компьютерное моделирование в обучении математике    151

Литература    166