Олимпиадные задания по математике. 9-11 классы: решение олимпиадных задач повышенной сложности

Подробное описание

Романтика математических олимпиад
Предисловие

Развивающий потенциал нестандартных олимпиадных задач неисчерпаем. Одни авторы преподносят такие задачи как эффектную рекламу математических идей в виде красивых неожиданных решений. У других это важнейшее средство для расширения математических знаний, развития эвристического мышления, повышения логической культуры.

Несомненна польза занимательных нестандартных заданий для того, чтобы сделать даже обычные уроки нескучными, душевно комфортными и при этом чрезвычайно насыщенными и эффективными. Бесспорна роль олимпиад в раскрытии творческого потенциала участника, в расширении его кругозора, развитии интереса к изучению предмета, в выявлении одаренных, творчески мыслящих учащихся.

Хочется верить, что особая энергетика математических олимпиад всегда будет привлекать достаточное количество желающих в них участвовать. И любая квалифицированная помощь в этом направлении будет актуальна.

Решать самостоятельно и изучать решения других... Видимо, наивно полагать, что кто-то когда-то где-то даст окончательный универсальный рецепт решения любых нестандартных заданий. Если бы это произошло, само словосочетание «нестандартная задача» потеряло бы смысл. А главное – исчезла бы романтика творческого поиска, вдохновения и озарения.

Говорить о методике подготовки к участию в олимпиадных соревнованиях можно только на основе обобщения собственного конкретного опыта, подкрепленного достаточно весомыми реальными результатами.

Должен ли преподаватель, берущийся за подготовку школьников к математическим турнирам, сам уметь с ходу решать любые нестандартные задания? Кого можно назвать умеющим решать нестандартные задачи? Того, кто решит любую задачу за достаточно короткое время? Но, скорее всего, таких людей нет.

Нестандартные задачи могут быть побочными результатами математических исследований на переднем крае современной науки. В этом отношении составителям задач работать значительно проще, чем тем, кто отваживается на поиск решения. Более того, некоторые признанные сегодня педагогические авторитеты просто принципиально не возьмутся за решение нестандартных задач, считая для себя это занятие пустой тратой времени. И каждый из них будет по-своему прав. Ведь на самом деле на блестящее, всесторонне безупречное решение иной нестандартной задачи может уйти довольно много времени, а никакого нового знания и умения лично для них такое решение не принесёт.

Без большого риска ошибиться можно предположить, что нет таких преподавателей, которые способны решить, скажем, за двое суток абсолютно все задачи основного варианта Турнира Городов. Но тот, кто берется за подготовку учащихся, должен, по крайней мере, иметь в своем арсенале такие задачи собственного решения, которыми он мог бы гордиться.

С точки зрения вышесказанного, возможно, умеющим решать олимпиадные задания можно назвать того, кто этим занимается достаточно регулярно, имеет опыт самостоятельного решения некоторых из них и большое желание решить еще хотя бы несколько. Как отмечал Джордж Пойа, нет ничего ценнее собственного опыта решений.

Представляется возможным выделить семь основных взаимосвязанных факторов, способствующих успешному решению задач:

· объем фактических знаний;

· развитые воображение, фантазия, интуиция;

· опыт самостоятельных решений;

· навыки владения основными мыслительными операциями (анализ, синтез, сравнение, сопоставление, обобщение, аналогия и т. д.);

· знание основных классов нестандартных задач;

· постоянное совершенствование логических навыков (выдвижение гипотез, построение доказательной структуры, примеры и контрпримеры, выводы и умозаключения);

· умения изучать, понимать и оценивать решения, предлагаемые другими.

Тогда получается полный граф с семью вершинами (рис. 1). Исходя из этих позиций, можно строить определенную систему работы по подготовке к олимпиадам.

Рис. 1. Полный граф компонентов успешного решения

Члены центрального жюри Турнира Городов регулярно публикуют на своем сайте тренировочные задачи. В предисловии говорится, что множество нулевых работ связано с тем, что многие учащиеся просто впервые видят подобные задания, отличающиеся от стандартных школьных и требующие для решения известной смелости и находчивости. Там же говорится, что польза от разбора решений может быть лишь для тех учащихся, которые предприняли серьезные усилия для решения задач.

Способность долго думать над задачей – одно из главных условий успешной работы в математике. В этой науке можно освоиться, только если сам процесс учения, в частности решение задач, может доставить радость, несмотря на трудности и неудачи.

Постоянная, систематическая совместная творческая деятельность учителя и ученика, направленная на совершенствование навыков решения нестандартных задач, составляет ту рутинную повседневную прозу, которая непременно обернется поэзией и особой романтикой олимпиадной жизни. Это состояние невозможно передать словами, можно лишь почувствовать.

По замыслу автора, данное пособие может оказаться полезным для подготовки к участию в математических турнирах любого уровня. В нем представлены задачи различных олимпиад с образцами их возможных решений, содержится обзор часто встречающихся классов нестандартных заданий, на реальных примерах демонстрируются эвристические приемы, которые могут привести к верной идее, имеются задачи для самостоятельного исследовательского поиска. Компоновка материала имеет вид, удобный для самоконтроля и сравнения своего решения с другими.

Методические рекомендации преподавателям

1. Желательно еще до первого занятия дать учащимся для ознакомления две-три интересных, но не самых сложных задачи, дать список рекомендуемой литературы и на первом занятии обсудить решения предложенных заданий.

2. На первом занятии изучить порядок работы и выдать на достаточно продолжительный срок список из 7–10 заданий. Сейчас это очень легко сделать, если принимать участие во Всероссийских олимпиадах, предлагаемых различными вузами и математическими школами.

Обычно первый этап подобной олимпиады является заочным, его задания рассчитаны на решение за достаточно продолжительное время. Можно также использовать задания прошлых лет Турнира Городов, но при этом, зная о высшем уровне этого турнира, лучше предлагать те задания, которые руководитель когда-то решил самостоятельно или основательно изучил другие решения. Во всех случаях следует учитывать начальный уровень аудитории и осуществлять индивидуальный подход.

3. На последующих занятиях разбираются известные классы нестандартных заданий, приемы эвристической деятельности, обязательно иллюстрируемые яркими примерами из опыта решений. Основное внимание уделяется обсуждению степени продвижения в задачах для самостоятельного исследовательского поиска. Фиксируются любые, даже самые незначительные успехи участников группы.

4. Делом чести всех слушателей, конечно, является участие в любых возможных олимпиадах и турнирах. Тогда все внимание группы переключается на эти соревнования, на подробный разбор их решений с обобщением, на уже изученные классы нестандартных заданий и эвристические приемы. В то же время это участие – сугубо добровольное. Нельзя перегружать учеников, которые, возможно, участвуют и в других предметных олимпиадах.

5. На занятиях в качестве разминки и для настройки интеллектуального тонуса можно и нужно иногда решать простые задания

и головоломки, причем их может предлагать не только руководитель. Полезно любое задание, если оно вызывает искренний интерес и является достаточно поучительным.

6. Перед праздниками или каникулами руководитель может организовать занятие в форме КВН, викторины или конкурса блиц-решений и ответов на вопросы.

7. На заключительном занятии в конце учебного года подводятся итоги деятельности группы и обсуждаются возможные планы на будущее. Возможна итоговая конференция, о которой объявляется заранее и на которой в качестве зрителей присутствуют все желающие учащиеся, их родители, преподаватели и т. д.

Данное пособие предполагается выпустить в текстовом и электронном вариантах. Последний отличается тем, что можно воспроизвести на мониторе компьютера, мульльтимедийного проектора или интерактивной доски любой рисунок и интерактивную модель некоторых задач, что делает изучение наглядным и динамичным.

В пособии намеренно не указываются точные данные об учениках, их преподавателях, школах и городах, где они учились и работали. Но все, о ком идет речь, абсолютно реальные люди. И все, что с ними происходило, было и есть на самом деле. Это сделано из соображений элементарной скромности и такта.

В первой главе рассматриваются реальные решения конкретных учеников. Это сделано для того, чтобы показать особенности нестандартного мышления наиболее сильных учащихся, высокий уровень их самостоятельных умозаключений и обобщений. Это как бы красивые примеры для подражания другим ученикам, стремящимся покорить олимпийские высоты.

Во второй главе автор приводит несколько решений из своей коллекции. Делаются краткие эвристические выводы и некоторые рекомендации, полезные учащимся и учителям.

Третья глава посвящена особому классу нестандартных заданий, связанных с очень красивой и незаслуженно обычно забываемой темой – геометрией масс. Дается краткий обзор теории и практики барицентрического решения.

В четвертой главе продолжается обзор некоторых других классов нестандартных задач, наиболее часто встречающихся в практике математических соревнований.

В последнем разделе собраны условия задач для самостоятельного исследовательского поиска.

Автор надеется, что пособие поможет всем желающим с пользой для развития интеллекта по-настоящему окунуться в увлекательнейший, романтичный и загадочный мир олимпиадных математических задач.

Содержание

Романтика математических олимпиад. Предисловие    3

Глава 1. «Звезды» прошлых олимпиад    10

Глава 2. Радость творческого поиска    22

Глава 3. Основная равносильность геометрии масс    58

Глава 4. Краткий обзор некоторых классов математических олимпиадных задач    68

Задания для самостоятельного  исследовательского поиска    79

Ответы, указания    90

Литература    98