Алгебра и начала анализа. 10 класс: поурочные планы по УМК А.Г. Мордковича и др. Программа для установки через Интернет

Урок 2 (22). Решение задач с помощью графика функции у = cos х

Урок 2 (22)
Решение задач с помощью графика
функции у = cos х

Цели: формировать умения решать графически уравнения вида cos х = f(x), строить графики кусочных функций, в записи которых встречается функция у = cos х, а также описывать функцию по её графику.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Не выполняя построения, ответьте, принадлежит ли графику функции у = cos х точка.

а) (2; 1); б) (0; 0); в)

г) д) е) (–4; 1).

2. Задайте аналитически дугу числовой окружности.

III. Формирование умений и навыков.

1. Учащиеся уже умеют решать графически уравнения вида sin х = g(x). Используем прием аналогии на данном уроке. Следует повторить алгоритм графического решения уравнения.

1-й шаг. Записать уравнение в виде cos х = f(x).

2-й шаг. В одной координатной плоскости построить графики функций у = cos х и у = f(x).

3-й шаг. Найти абсциссы точек пересечения графиков.

4-й шаг. Проверить получившиеся решения подстановкой в исходное уравнение.

2. Перед тем как приступить к решению уравнений, выполняем № 11.8 (а; б).

Решение:

Графиком функции у = х + 2 является прямая, проходящая через точки (–4; –2), (–1; 1).

2) Общего вида.

3) На где – возрастает; на где – убывает.

4) Ограничена сверху.

5) унаим – не существует, унаиб – не существует.

6) Имеет разрыв в точке х = 0.

7)

б)

2) Общего вида.

Урок 1 (16). Формулы приведения. Мнемоническое правило запоминания

Урок 1 (16)
Формулы приведения.
Мнемоническое правило запоминания

Цели: вывести формулы приведения для углового и радианного аргумента; изучить мнемоническое правило запоминания формул; формировать умение находить значение sin tcos ttg t, ctg t при помощи формул приведения, а также значение тригонометрических выражений.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Проверочная работа.

Вариант 1

1. Переведите данные числа из градусной меры в радианную.

75 °; 10 °; 144 °; 1080 °.

2. Переведите данные числа из радианной меры в градусную.

3. Запишите значения синуса, косинуса и тангенса данных угловых аргументов (в виде таблицы).

0 °; 45 °; 120 °; 210 °; –90 °.

Вариант 2

1. Переведите данные числа из градусной меры в радианную.

15 °; 18 °; 108 °; 720 °.

2. Переведите данные числа из радианной меры в градусную.

3. Запишите значения синуса, косинуса и тангенса данных угловых аргументов (в виде таблицы).

30 °; 150 °; 270 °; 300 °; –30 °.

III. Объяснение нового материала.

1. Актуализация знаний.

Вычислите устно.

2. Решая устно указанные выше примеры, выносим на доску изученные ранее формулы.

3. Показываем, что можно вывести и другие формулы приведения, где под знаком тригонометрической функции содержится выражение вида

Формулируем мнемоническое правило, которое можно записать в следующем виде:

Особенное внимание обращаем на то, что выражение pn либо (кратное p или ), но не и т. д.

4. Рассматриваем применение формул приведения в случае аргумента, выраженного в градусах, то есть вида 90 ° + ; 180 ° –  и т. д.

IV. Формирование умений и навыков.

Упражнения, решаемые на этом уроке, направлены на усвоение формул приведения. Особую сложность для учащихся представляет определение знака исходной функции. Для формирования устойчивого навыка следует использовать модели числовых окружностей с нанесенными знаками sin tcos

Урок 1 (8). Числовая окружность на координатной прямой

Урок 1 (8)
Числовая окружность
на координатной прямой

Цели: ввести понятие модели числовой окружности в декартовой и криволинейной системе координат; формировать умение находить декартовы координаты точек числовой окружности и выполнять обратное действие: зная декартовы координаты точки, определять её числовое значение на числовой окружности.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Назовите координаты точек плоскости:

2. Назовите число, соответствующее заданной точке на числовой окружности.

III. Объяснение нового материала.

1. Объяснение следует проводить согласно пункту учебника. Разместив числовую окружность в декартовой системе координат, следует подробно разобрать свойства точек числовой окружности, находящихся в различных координатных четвертях. Дело в том, что, изучая данную модель, учащиеся сталкиваются с определенными трудностями. Им необходимо учиться работать одновременно в двух системах координат – криволинейной и декартовой.

Для преодоления этой трудности авторы учебника применяют следующий методический прием: для точки М числовой окружности используют запись М(t), если речь идет о криволинейной координате точки М, или запись М (х; у), если речь идет о декартовых координатах точки.

2. Проводим 7-ю методическую «игру» – отыскание декартовых координат «хороших» точек числовой окружности. Речь идет о переходе от записи М(t) к М (х; у).

Можно организовать работу в парах с последующей самопроверкой (верные ответы в таблице 1 со с. 38 учебника).

3. Проводим 8-ю методическую «игру» – отыскание знаков координат «плохих» точек числовой окружности. Если, например, М(2) = М (х; у), то х < 0; у > 0. В процессе этой «игры» школьники фактически учатся определять знаки тригонометрических функций по четвертям числовой окружности.

Если класс недостаточно «сильный», то можно на этом уроке ограничиться 7-ой «игрой».

IV. Формирование умений и навыков.

1. № 5.1 (а; б), № 5.2 (а; б), № 5.3 (а; б).

Данная группа заданий направлена на формирование умения отыскивать декартовы координаты «хороших» точек на числовой окружности.

Решение:

№ 5.1 (а).

Урок 1 (26). Понятия функций y = tg x, y = ctg x

Урок 1 (26)
Понятия функций y = tg x, y = ctg x

Цели: ввести понятия функций y = tg x и y = ctg x, рассмотреть их основные свойства и построить графики; формировать умения находить значение функции y = tg x (y = ctg x) для заданных аргументов; строить графики; решать уравнения вида tg x = а и ctg x = а.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Проверочная работа.

Вариант 1

1. Постройте график функции

По графику найдите:

а) наименьшее и наибольшее значения функции;

б) нули функции;

в) значения аргумента, при которых функция принимает положительные значения.

2. Решите графически уравнение

Вариант 2

1. Постройте график функции

По графику найдите:

а) наименьшее и наибольшее значения функции;

б) нули функции;

в) значения аргумента, при которых функция принимает отрицательные значения.

2. Решите графически уравнение

Вариант 3

1. Постройте график функции

По графику найдите:

а) наименьшее и наибольшее значения функции;

б) нули функции;

в) значения аргумента, при которых функция принимает положительные значения.

2. Решите графически уравнение

Вариант 4

1. Постройте график функции

По графику найдите:

а) наименьшее и наибольшее значения функции;

б) нули функции;

в) значения аргумента, при которых функция принимает отрицательные значения.

2. Решите графически уравнение

III. Устная работа.

Вычислите.

IV. Объяснение нового материала.

1. По определению значит, функция y = tg x определена во всех точках, кроме (для этих значений cos х = 0). Учащиеся получают представление об области определения функции y = tg x.

2. Из формул приведения делаем вывод, что функция y = tg x – периодическая с основным периодом Т = p.

3. Из ранее известных свойств: значит, функция y = tg x – нечетная.

4. Используя таблицу значений, либо, что удобнее, числовую окружность с линией тангенсов, выбираем контрольные точки и строим одну ветвь графика y = tg x (тангенсоиды).

Обращаем внимание учащихся, что в отличие от «похожего» графика – кубической параболы – ветвь тангенсоиды не «прижимается» в начале координат к оси 0х, а выходит как бы под углом 45 ° (биссектриса).

5. После выполнения построения графика ученики должны прочитать его и отметить оставшиеся свойства функции y = tg x:

а) Возрастает на

б) Не ограничена.

Урок 2 (17). Преобразование выражений с помощью формул приведения

Урок 2 (17)
Преобразование выражений
с помощью формул приведения

Цели: формировать умения преобразовывать выражения, а также решать уравнения (и неравенства) с использованием формул приведения; подготовить к контрольной работе.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Выразите в радианной мере углы, равные:

а) 90 °; б) 30 °; в) 45 °; г) 60 °;

д) 180 °; е) –18 °; ж) –360°; з) 120 °.

2. Определите знак числа.

III. Формирование умений и навыков.

Все задания, выполняемые на этом уроке, можно разбить на 2 группы.

1-я группа. Преобразование тригонометрических выражений с помощью формул приведения.

2-я группа. Решение уравнений (неравенств) с помощью формул приведения.

Перед выполнением заданий повторяем мнемоническое правило и алгоритм применения формул приведения:

1-й шаг. Выражаем аргумент тригонометрической функции в виде pn + t или где

2-й шаг. Заменяем аргумент t, оставляя функцию при кратности pn или меняя функцию на «родственную» при кратности

3-й шаг. Ставим перед функцией знак, который имела бы исходная функция при заданном аргументе.

1-я группа.

№ 9.9 (а; б), № 9.10.

Решение:

№ 9.9.

№ 9.10.

2-я группа.

№ 9.12 (а; б), № 9.13 (а), № 9.14 (а).

Решение:

№ 9.12.

Ответ: