Математика. 9-11 классы. Учебные курсы для индивидуальных образовательных маршрутов учащихся. Программы курсов. Материалы к занятиям. Программа для установки через Интернет

Одночлены и многочлены

1.1. ОДНОЧЛЕНЫ И МНОГОЧЛЕНЫ

Повторяем.

· Выражение, представляющее собой произведение чисел, переменных и их степеней называется одночленом.

Пример 1. 3ах2; –2b 3; 0,5с3; –3b 2.

· Стандартным видом одночлена называется произведение, составленное из числового множителя (коэффициента) и степеней различных переменных.

Пример 2. –2; а; 54; у3; –8а3х4.

· Степенью одночлена стандартного вида называется сумма показателей степеней переменных.

Пример 3. 9х4у3– одночлен степени семь.

· Одночлены, отличающиеся только числовыми коэффициентами или равные между собой, называются подобными.

· Алгебраическая сумма одночленов называется многочленом.

Пример 4. 3а2 – 5ах4 – 3.

· Многочленом стандартного вида называется многочлен, все одночлены которого записаны в стандартном виде. Всякий многочлен можно представить в стандартном виде. Стандартную запись многочлена называют канонической.

Канонический [гр. kanonikos – установленный правилом] – 1) основанный на церковных правилах; установленный церковными канонами; 2) принятый за образец; основанный на каноне; закон, правило.

Пример 5. 2х2у3.

· Степенью многочлена стандартного вида называется наибольшая степень одночлена, входящего в этот многочлен.

Пример 6. 5х2а3 + 2х2а – 5 – многочлен пятой степени.

· Сумму подобных членов можно заменить одним членом, сложив их коэффициенты и оставив ту же буквенную часть. Такое тождественное преобразование многочленов называется приведением подобных членов.

Пример 7. –х4+ 2х3 – 4х4 + 2х2 – 3х2 = –5х4 + 2х3 – х2.

· Произведение двух многочленов равно сумме произведений каждого члена первого многочлена на каждый член второго многочлена.

Пример 8. (х + 2у) (3х2 – у + ху) = 3х3 – ху + х2у + 6ух2 – 2у2 + 2ху2 =

= 3х2 – ху +7ух2 – 2у2 +2ху2.

· Разложить многочлен на множители означает представить его в виде произведения многочленов.

· При разложении многочлена на множители используют метод вынесения общего множителя за скобки, метод группировки членов и формулы сокращенного умножения.

Пример 9. Разложить на множители многочлен 2х2у + у2 – 2х3 – ух.

Решение. Группируя члены и вынося общий множитель за скобки, получим: 2х2у + у2 – 2х3 – ух = (2х2у – 2х3) + (у2 – ух) = 2х2(у – х) + у(у – х) = = (у – х) (2х2 + у).

· Свойства делимости многочленов:

1. Если многочлен Pn(х) делится на многочлен Qm(х), а многочлен Qm(х) делится на многочлен Ri(х), то многочлен Pn(х) делится на Ri(х).

2. Если многочлены Pn(х) и Qm(х) делятся на многочлен Ri(х), то многочлен Pn(х)+ Qm(х) и Pn(х) – Qm(х) делятся на Ri(х), а многочлен Pn(х) ґ Qm(х) делится на R2i(х).

3. Если многочлен Pn(х) делится на многочлен Qm(х), то произведение Pn(х) на любой многочлен Ri(х) также делится на многочлен Qm(х).

4. Многочлены Pn(х) + Qm(х) делятся друг на друга тогда и только тогда, когда Pn(х) = С ґ Qm(х), где С ≠ 0.

5. Если многочлен Pn(х) = Qm(х) × Ri(х) делится на двучлен (х – 2), то хотя бы один из многочленов Qm(х) и Ri(х) делится на (х – 2).

· Строгое определение (для самых продвинутых). Многочленом степени n от переменной х называется функция вида

где числа называются коэффициентами многочлена, причем а0 – старший коэффициент, а0 ≠ 0, аn – свободный член. Если а0 = 1, многочлен называется приведенным. Например,

– приведенный многочлен третьей степени.

Решаем самостоятельно.

1. Вынесите за скобки общий множитель:

а) 7ах + 7х; е) 6а2b + 12аb2;

б) 22у – 11ху; ж) 10а – 15b + 15аb;

в) х3 – х2; з) 2с6 – 15с2;

г) 3х + 6х2; и) 12а2b – 18аb 2 – 3аb2;

д) у4 + 2у3; к) 20х4 – 25х2у2 – 10х3.

2. Разложите на множители:

а) 2у(х – 3) – 5с(3 – х); г) 5ха + 2 + 10х2;

б) а2(х – у) – с(у – х); д) асх2с + асхс;

в) ах + ах + 1; е) 15х2с + 3 – 25хс + 1.

3. Докажите, что:

а) 487 – 486 делится на 47; в) 523 – 521 делится на 24;

б) 488 – 247 делится на 23; г) 257 + 513 делится на 30.

Деление многочлена на многочлен с остатком

1.2. Деление многочлена на многочлен с остатком

Задача деления многочлена на многочлен выполнима не всегда: если заданы многочлены А(х) и В(х), то не всегда найдется многочлен С(х) такой, что А(х) = В(х) Ч С(х). Однако, как и для множества целых чисел, так и для многочленов имеет место деление с остатком.

Например: 25 : 4 = 6 (ост. 1); 25 = 4 Ч 6 + 1.

А(х) : В(х) = С(х) (ост. Р(х)).

А(х) – делимое; В(х) – делитель; С(х) – неполное частное; Р(х) – остаток.

Если А(х) и В(х) многочлены, то выражение вида называется алгебраической дробью. Алгебраическая дробь называется правильной в том случае, если степень старшего члена числителя меньше степени старшего члена знаменателя, и неправильной, если старшая степень числителя больше или равна старшей степени знаменателя. Всякая неправильная дробь может быть преобразована в сумму некоторого многочлена – целая часть и правильной дроби

Учим наизусть.

Теорема. Пусть А(х) и В(х) многочлены, тогда существуют многочлены С(х) и Р(х) такие, что А(х) = В(х) Ч С(х) + Р(х), причем степень Р(х) меньше степени В(х).

· Для деления многочлена на многочлен применяют запись деления «уголком», аналогичную при делении многозначных чисел.

Алгоритм деления:

1. Расположить делимое и делитель по убывающим степеням х.

2. Разделить старший член делимого на старший член делителя, полученный одночлен является первым членом частного.

3. Первый член частного умножить на делитель и вычесть из делимого, полученная разность является первым остатком.

4. Чтобы получить следующий член частного, надо с первым остатком поступить так же, как поступали с делителем.

Процесс продолжается до тех пор, пока не будет получен остаток, равный нулю, или остаток, степень которого ниже степени делителя. Если остаток равен нулю, то А(х) : В(х).

Например,

т. к.

Решаем вместе.

Пример 1. Проведите деление с остатком:

2х4 + х3 – 5х2 – х + 1 на х2 – х.

Решение.

Третий остаток имеет степень ниже степени делителя, следовательно, процесс деления завершен.

С(х) = 2х2 + 3х – 2; Р(х) = –3х + 1.

Данный многочлен можно записать в виде:

2х4 + х3 – 5х2 – х + 1 = (х2 – х)(2х2 + 3х – 2) + (–3х + 1)

или

Пример 2. Проведите деление с остатком:

2х6 – 3х4 – 5х3 + х – 6 на х4 + 3х3 + 5.

Решение.

Поделим многочлен «уголком».

Теорема Безу. Корни многочлена

1.3. ТЕОРЕМА БЕЗУ. КОРНИ МНОГОЧЛЕНА

Историческая справка.

Этьен Безу (уроженец Немура, 1730–1783 гг.) – французский математик, член Парижской Академии Наук с 1758 года. С 1763 года Безу преподавал математику в училище гардемаринов, а с 1768 года и в королевском артиллерийском корпусе.

Основные работы Этьена Безу относятся к высшей алгебре, они посвящены созданию теории решения алгебраических уравнений. В теории решения систем линейных уравнений ученый содействовал возникновению теории определителей, развивал теорию исключения неизвестных из систем уравнений высших степеней, доказал теорему (впервые сформулированную К. Маклореном) о том, что две кривые порядка m и n пересекаются не более чем в mn точках. Во Франции и за ее границами, вплоть до 1848 года был популярен его шеститомный «Курс математики», написанный им в 1764–1769 годах. Безу развил метод неопределенных множителей, в элементарной алгебре его именем назван способ решения систем уравнений, основанный на этом методе. Часть трудов Безу посвящена внешней баллистике. Именем ученого названа одна из основных теорем алгебры.

· Если при делении многочлена на многочлен А(х) : В(х) в качестве делителя В(х) рассматривать двучлен, степень которого равна 1, то степень остатка должна быть равна нулю, т. е. остаток должен быть некоторым числом r, т. е. А(х) = (х – а) М(х) + r. Найдем r. Положим в этом тождестве х = а, получим А(а) = (а – а) М(а) + r, значит, r = А(а).

Учим наизусть.

Теорема 1. (Теорема Безу). Остаток от деления многочлена А(х) на двучлен х – а равен А(а), число а называют корнем многочлена А(х), если А(а) = 0.

Теорема Безу позволяет, не выполняя операцию деления, определить, является ли данное число корнем многочлена.

Решаем вместе.

Пример 1. Показать, что числа 2 и –2 являются корнями многочлена

х4– 4х3 + х2 + 16х – 20.

Решение.

Пусть А(х) = х4 – 4х3 + х2 + 16х – 20.

А(–2) = (–2)4 – 4(–2)3 + (–2)2 + 16(–2) – 20;

А(–2) = 16 + 32 + 4 – 32 – 20;

А(–2) = 0 – корень многочлена.

А(2) = 24 – 4 ∙ 23 + 22 16 ∙ 2 – 20;

А(2) = 16 – 32 + 4 + 32 – 20;

А(2) = 0 – корень многочлена.

Итак, числа 2 и –2 являются корнями многочлена х4– 4х3 + х2 + 16х – 20.

Учим наизусть.

Теорема 2. Число а является корнем многочлена А(х) в том и только в том случае, когда А(х) делится на х – а.

Решаем вместе.

Пример 2. Покажем, что многочлен х4– 4х3 + х2 + 16х – 20 делится на х – 2.

Решение.

Воспользуемся делением «уголком».

Итак, многочлен х4– 4х3 + х2 + 16х – 20 делится на двучлен х – 2 без остатка, следовательно, х = 2 – корень многочлена.

Пример 3. Выполнить деление многочлена на многочлен

Следовательно,

Учим наизусть.

Теорема 3. Если числа а1, а2……ак различны, то многочлен А(х) делится на (х – а1); (х – а2);….(х – ак). Эти числа являются корнями многочлена А(х).

Следствие 1. Многочлен степени n не может иметь более чем n различных корней.

Теорема Виета

1.6. ТЕОРЕМА ВИЕТА

Историческая справка.

Франсуа Виет. Знаменитый математик Франсуа Виет родился в 1540 году (1540–1603) в небольшом городке Фантанеле-Конт на юге Франции. Юрист по образованию, Виет служил при дворе Генриха IX. Математикой занимался в часы отдыха. Ознакомившись с учением Коперника, Виет заинтересовался астрономией и решил написать обширный астрономический трактат, но для этого надо было глубоко знать математику. Занявшись изучением математики, он выполнил ряд алгебраических исследований, разработал символику в алгебре, но трактата по астрономии так и не написал. Свою знаменитую теорему, которая известна под названием терема Виета, он доказал в 1591 году. Люди пользуются этой теоремой уже пятое столетие. Франсуа Виет обладал огромной трудоспособностью, он мог работать по трое суток без отдыха, многие его результаты и открытия достойны восхищения.

Во время войны Франции с Испанией Виет оказал большую услугу своей родине – он расшифровал весьма важное письмо испанского двора. Правители Испании, письмо которых было перехвачено, не допускали мысли, что такой сложный шрифт может быть раскрыт. Впоследствии они приписали раскрытие их шрифта волшебству чародея.

В работе «Введение в аналитическое искусство» Ф. Виет изложил усовершенствованную им теорию уравнений с применением изобретенных символов. В названном трактате Виет использовал алгебраические выкладки при рассмотрении вопросов геометрии.

Виет ввел в алгебру общую символику. Числовые коэффициенты он стал обозначать согласными буквами и придумал новый термин – коэффициент, позаимствовав из латинского языка слово coefficiens – «содействующий». Знаки «+» и «–» он употреблял в современном значении, неизвестные обозначал буквами латинского алфавита.

Учим наизусть.

Теорема Виета. Сумма корней приведенного уравнения степени n равна второму коэффициенту с противоположным знаком, сумма различных произведений корней, взятых по два, равна третьему коэффициенту, сумма различных произведений корней, взятых по три, равна четвертому коэффициенту, взятому с противоположным знаком, и т. д., а произведение корней равно свободному члену со знаком, равным (–1)n:

Для уравнения третьей степени х3 + рх2 + qх + r = 0, если х1; х2; х3 – корни, справедливы следующие формулы:

х1 + х2 + х3 = –p,

х1х2 + х1х3 + х2х3 = q,

х1х2х3 = –r.

При решении уравнений высших степеней применяют два основных метода:

1) разложение на множители;

2) введение новой переменной.

Для решения уравнения а0хn + а1хn – 1 + … + аn – 1х + аn = 0, где а0 ≠ 0 надо разложить многочлен, стоящий в левой части равенства, на множители, что в данном случае является равнозначной операцией – найти корни многочлена.

Решаем вместе.

Пример 1. Решить уравнение 6х3 + 13х2 – 14х + 3 = 0.

Решение.

Делители свободного члена: ±1; ±3; натуральные делители старшего коэффициента: 1; 2; 3; 6. Корни уравнения будем искать среди чисел:

Подставляя их поочередно, обнаруживаем, что корнями являются:

х1 = –3; –162 + 117 + 42 + 3 = 0;

х2 = ; – 7 + 3 = 0;

х3 = ; + 3 = 0.

Ответ: –3; ; .

Пример 2. Решить уравнение х4 – х3 – 13х2 + х + 12 = 0.

Решение. Очевидно, х1 = 1; х2 = –1

Двучленные уравнения

2.2. ДВУЧЛЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ

Учим наизусть.

Уравнение вида axn + b = 0 называется двучленным уравнением. Решение такого уравнения сводится к извлечению корня степени n из числа Если n – четное и < 0, то действительных корней нет.

Решаем вместе.

Пример. Решить уравнение 2х3 + 5 = 0.

Решение. Разложим выражение в левой части уравнения на множители, получаем Из первого сомножителя, содержащего х, находим Квадратное уравнение действительных корней не имеет.

Ответ:

Продолжайте заполнять таблицу.

Проверяем себя.

Математический диктант

1. Какие уравнения являются целыми?

а) – 5 = 0; б) = 2; в) = 7; г) = х.

2. Какие уравнения являются биквадратными?

а) х4 + 2х + 1 = 0;

б) х4 – 2х2 = 6;

в) х4 – х3 + 1 = 0;

г) х2 = 2х4 + 1.

3. Какие из уравнений решаются методом введения новой переменной?

а) 3х3 – х2 = 0;

б) 2х4 – 3х2 = 1 = 0;

в) (х2 + 1)2 + 2(х2 + 1) – 7 = 0;

г) х3 + 2х2 + х = 0.

4. Уравнение имеет один корень:

а) х2 = –3; б) х2 = 9; в) 2х2 = 0; г) х3 = –8.

5. Уравнения являются равносильными:

а) 5х2 – 5 = 0 и х – 1 = 0;

б) 3х2 = –1 и 2х2 + 4 = 1;

в) 15х2 – 5х + 20 = 0 и 3х2 – х + 4 = 0.

Ответы: 1) а, в; 2) б, г; 3) б, в; 4) г; 5) б, в.