Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам

Подробное описание

Введение

Теория вероятностей, как и другие науки, возникла из потребностей прак­тики. Ее элементы были «знакомы» еще первобытным людям: шансы убить зверя у двух охотников, конечно, больше, чем у одного.

Возникновение «математики случайного» относится к середине XVII века и связано с попыткой создания теории азартных игр, особенно в кости.

Пример одной из ситуаций: два игрока договорились играть в кости до мо­мента, когда одному из них удастся выиграть три партии; игра была прервана, когда первый игрок выиграл две партии, а второй — одну; как справедливо разделить ставку? 3:1 — как показали французские математики Б. Паскаль (1623-1662) и П. Ферма (1601-1665). II в настоящее время примеры из области азартных игр широко применяются в теории вероятностей, так как для них легко строить математические модели.

Первую книгу по теории вероятностей «О расчетах в азартной игре» опу­бликовал голландский математик Х.Гюйгенс (1629-1695).

Становление теории вероятностей как математической науки связано с именем Я.Бернулли (1654-1705), который ввел классическое определение со­бытия и доказал простейший случай закона больших чисел.

В XVIII-XIX веках центральное место в развитии теории вероятностей занимали предельные теоремы. К этому периоду относятся работы А. Муавра (1667-1754), П. Лапласа (1749-1827), К. Гаусса (1777-1855), С. Пуассона (1781- 1840).

В конце XIX — начале XX века благодаря усилиям П. JI. Чебышева (1821— 1894), А. А. Маркова (1856-1922), А. М. Ляпунова (1857-1918) созданы методы доказательства предельных теорем для сумм независимых произвольно рас­пределенных случайных величин.

Дальнейшее развитие теории вероятностей связано с именами русских математиков Е. Е. Слуцкого (1880-1948), А. Я. Хинчина (1894-1959), А. Н. Кол­могорова (1903-1987), Б.В.Гнеденко (1912-1995), а также зарубежных уче­ных Н.Винера (1894-1964), Э.Бореля (1871-1956), В.Феллера (1906-1970), Р. Фишера (1890-1962) и др. Теория вероятностей получила строгое формаль­но-логическое основание на базе теории множеств. Следует особо отметить академика А. Н. Колмогорова, установившего аксиоматику теории вероятно­стей. Огромное развитие получили «отпочковавшиеся» от теории вероятно­стей такие отрасли науки, как математическая статистика, теория случайных процессов, теория массового обслуживания, теория информации и др.

Современная теория вероятностей — строго обоснованная математиче­ская наука. Она широко использует достижения других математических наук (по этому поводу современный вероятностик Дж. Дуб в шутку как-то сказал: «Всем специалистам по теории вероятностей хорошо известно, что математи­ка представляет собой часть теории вероятностей»); имеет, в свою очередь, многочисленные приложения в естественных и гуманитарных науках.

Содержание

Введение     6

Раздел первый

Элементарная теория вероятностей и случайных процессов

Глава 1. Случайные события

Предмет теории вероятностей    8

Случайные события, их классификация     9

Действия над событиями    11

Случайные события. Алгебра событий. (Теоретико-множественная трактовка)     13

Свойство статистической устойчивости относительной частоты

события    16

Статистическое определение вероятности    17

Классическое определение вероятности    18

Элементы комбинаторики     20

Примеры вычисления вероятностей     28

Геометрическое определение вероятности    31

Аксиоматическое определение вероятности    34

Свойства вероятностей    35

Конечное вероятностное пространство    36

Условные вероятности    37

Вероятность произведения событий. Независимость событий     38

Вероятность суммы событий    42

Формула полной вероятности    44

Формула Байеса (теорема гипотез)    45

Независимые испытания. Схема Бернулли    47

Формула Бернулли    48

Предельные теоремы в схеме Бернулли    51

Глава 2. Случайные величины

Понятие случайной величины. Закон распределения случайной величины     60

Закон распределения дискретной случайной величины. Многоугольник распределения    61

Функция распределения и ее свойства. Функция распределения дискретной случайной величины    64

Плотность распределения и ее свойства    69

Числовые характеристики случайных величин    73

Производящая функция    84

Основные законы распределения случайных величин    85

Глава 3. Системы случайных величин

Понятие о системе случайных величин и законе ее распределения    104

Функция распределения двумерной случайной величины и ее свойства .    107

Плотность распределения вероятностей двумерной случайной величины и ее свойства    110

Зависимость и независимость двух случайных величин    116

Условные законы распределения    118

Числовые характеристики двумерной случайной величины. Математическое ожидание и дисперсия    122

Корреляционный момент, коэффициент корреляции    124

Двумерное нормальное распределение    131

Регрессия. Теорема о нормальной корреляции    135

Многомерная (n-мерная) случайная величина (общие сведения)    139

Характеристическая функция и ее свойства    140

Характеристическая функция нормальной случайной величины    143

Глава 4. Функции случайных величин

Функция одного случайного аргумента     145

Функции двух случайных аргументов    150

Распределение функций нормальных случайных величин    158

Глава 5. Предельные теоремы теории вероятностей

Неравенство Чебышева    162

Теорема Чебышева    165

Теорема Бернулли    168

Центральная предельная теорема    170

Интегральная теорема Муавра-Лапласа    172

Глава 6. Основы теории случайных процессов

Понятие случайной функции (процесса)    176

Классификация случайных процессов    178

Основные характеристики случайного процесса    179

Стационарный случайный процесс в узком и широком смысле    187

Линейные и нелинейные преобразования случайных процессов    190

Дифференцирование и интегрирование случайных процессов    191

Спектральное разложение стационарного случайного процесса    194

Спектральная плотность случайного процесса. Теорема Винера-Хинчина    197

Стационарный белый шум    201

Понятие марковского случайного процесса    203

Дискретный марковский процесс. Цепь Маркова    205

Понятие о непрерывном марковском процессе. Уравнения Колмогорова     207

Раздел второй

Основы математической статистики

Глава 7. Выборки и их характеристики

Предмет математической статистики    212

Генеральная и выборочная совокупности     213

Статистическое распределение выборки. Эмпирическая функция распределения    215

Графическое изображение статистического распределения    219

Числовые характеристики статистического распределения    221

Глава 8. Элементы теории оценок и проверки гипотез

Оценка неизвестных параметров     225

Методы нахождения точечных оценок    231

Понятие интервального оценивания параметров    236

Доверительные интервалы для параметров нормального распределения    238

Проверка статистических гипотез     244

Проверка гипотез о законе распределения     248

Ответы к упражнениям    255

Приложения    284