Конспект лекций по высшей математике. В 2-х частях. Часть 2. Тридцать пять лекций
| Код | 10394 |
| Издательство | Айрис-пресс, 2011 |
| ISBN | 978-5-8112-4125-5 |
| Страниц | 256 |
| УДК | 517(075.8) |
| Штрихкод | 9785811241255 |
| Размеры (Ш x В x Т) | 165 x 235 x 14 (мм) |
| Вес | 340 г |
Вторая часть содержит необходимый материал по 9-ти разделам курса высшей математики, которые обычно изучаются студентами на втором курсе вуза, а также дополнительные главы, необходимые при изучении специальных курсов - двойные, тройные, криволинейные и поверхностные интегралы, ряды (от числовых до рядов Фурье), дифференциальные уравнения, а также элементы теории поля и теории функций комплексного переменного, основы операционного исчисления.
Изложение теоретического материала по всем темам сопровождается рассмотрением большого количества примеров и задач.
Подробное описание
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящее пособие предназначено в первую очередь для студентов инженерно-технических специальностей; может быть полезным для всех категорий студентов, изучающих в том или ином объеме высшую математику. Оно представляет собой конспект лекций в 2 частях. Вторая часть адресована в основном второкурсникам. Набор освещаемых вопросов хорошо виден из оглавления.
Данный конспект содержит необходимый материал по 9 разделам курса высшей математики и дополнительным главам, необходимым при изучении специальных курсов. Изложение теоретического материала по всем темам сопровождается рассмотрением большого количества примеров и задач, ведется на доступном, но возможности строгом языке.
Пособие может быть использовано студентами также для самостоятельного изучения соответствующего материала, является базой для подготовки к сдаче зачетов и экзаменов по математическим дисциплинам.
Кроме того, книга должна помочь студенту и в тех случаях, когда он что-то не успел записать на лекции, какие-то лекции были пропущены, в чем-то трудно (или нет времени) разобраться по другим учебникам, когда некоторые вопросы «слишком длинны» в его конспектах или много фактического материала, который следует изучить за ограниченное количество времени.
Автор надеется, что данный курс лекций будет полезен и преподавателям, а использование данного пособия будет способствовать более глубокому изучению студентами курса высшей математики и смежных дисциплин.
Содержание
Предисловие 8
Глава I. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. Общие сведения о дифференциальных уравнениях 9
Основные понятия 9
Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям ... 9
§2. Дифференциальные уравнения первого порядка 11
Основные понятия 11
Уравнения с разделяющимися переменными 13
Однородные дифференциальные уравнения 15
Линейные уравнения. Уравнение Я. Бернулли 18
Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель 21
Уравнения Лагранжа и Клеро 25
§ 3. Дифференциальные уравнения высших порядков 26
Основные понятия 26
Уравнения, допускающие понижение порядка 28
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков 31
Линейные однородные ДУ второго порядка 32
Линейные однородные ДУ n-го порядка 34
§ 4. Интегрирование ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами 36
Интегрирование ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами 36
Интегрирование ЛОДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами 38
§ 5. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) 39
Структура общего решения ЛНДУ второго порядка 39
Метод вариации произвольных постоянных 40
Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида 42
Интегрирование ЛНДУ n-го порядка (n > 2) с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида 46
§ 6. Системы дифференциальных уравнений 47
Основные понятия 47
Интегрирование нормальных систем 49
Системы линейных ДУ с постоянными коэффициентами .. 51
Глава II. ДВОЙНЫЕ И ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 7. Двойной интеграл 57
Основные понятия и определения 57
Геометрический и физический смысл двойного интеграла. 58
Основные свойства двойного интеграла 59
Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах 60
Вычисление двойного интеграла в полярных координатах . 63
Приложения двойного интеграла 65
§ 8. Тройной интеграл 67
Основные понятия 67
Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах 69
Замена переменных в тройном интеграле. Вычисление тройного
интеграла в цилиндрических и сферических координатах 71
Некоторые приложения тройного интеграла 74
Глава III. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 9. Криволинейный интеграл I рода 77
Основные понятия 77
Вычисление криволинейного интеграла I рода 79
Некоторые приложения криволинейного интеграла I рода. 80
§ 10. Криволинейный интеграл II рода 82
Основные понятия 82
Вычисление криволинейного интеграла II рода 84
Формула Остроградского Грина 86
Условия независимости криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования 88
Некоторые приложения криволинейного интеграла II рода 91
§ 11. Поверхностный интеграл I рода 93
Основные понятия 93
Вычисление поверхностного интеграла I рода 94
Некоторые приложения поверхностного интеграла I рода.. 97
§ 12. Поверхностный интеграл II рода 99
Основные понятия 99
Вычисление поверхностного интеграла II рода 101
Формула Остроградского Гаусса 103
Формула Стокса 105
Некоторые приложения поверхностного интеграла II рода. 107
Глава IV. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
§ 13. Числовые ряды 109
Основные нонятия 109
Ряд геометрической прогрессии 111
Необходимый признак сходимости числового ряда. Гармонический ряд 112
§ 14. Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов 114
Признаки сравнения рядов 114
Признак Даламбера 116
Радикальный признак Коши 117
Интегральный признак Коши. Обобщенный гармонический ряд 118
§ 15. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды 121
Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница 121
Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов 122
Абсолютная и условная сходимости числовых рядов.
Свойства абсолютно сходящихся рядов 123
Глава V. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
§ 16. Функциональные ряды 125
Основные понятия 125
§ 17. Сходимость степенных рядов 126
Теорема Н. Абеля 126
Интервал и радиус сходимости степенного ряда 127
Свойства степенных рядов 129
§ 18. Разложение функций в степенные ряды 130
Ряды Тейлора и Маклорена 130
Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена) 133
§ 19. Некоторые приложения степенных рядов 137
Приближенное вычисление значений функции 137
Приближенное вычисление определенных интегралов 139
Приближенное решение дифференциальных уравнений 140
Глава VI. РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
§ 20. Ряды Фурье 144
Периодические функции. Периодические процессы 144
Тригонометрический ряд Фурье 145
§ 21. Разложение в ряд Фурье 2к-периодических функций 148
Теорема Дирихле 148
Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций 150
Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода. 152
Представление непериодической функции рядом Фурье ... 154
Комплексная форма ряда Фурье 155
§ 22. Интеграл Фурье 158
Глава VII. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
§ 23. Основные понятия теории поля 163
§ 24. Скалярное поле 165
Поверхности и линии уровня 165
Производная по направлению 165
Градиент скалярного поля и его свойства 167
§25. Векторное поле 169
Векторные линии поля 169
Поток поля 170
Дивергенция поля. Формула Остроградского-Гаусса 173
Циркуляция поля 175
Ротор поля. Формула Стокса 177
§ 26. Оператор Гамильтона 180
Векторные дифференциальные операции первого порядка. 180
Векторные дифференциальные операции второго порядка. 180
§ 27. Некоторые свойства основных классов векторных полей 181
Соленоидальное поле 181
Потенциальное поле 183
Гармоническое поле 185
Глава VIII. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
§ 28. Функции комплексного переменного 186
Основные понятия 186
Предел и непрерывность функции комплексного переменного 187
Основные элементарные функции комплексного переменного 188
Дифференцирование функции комплексного
переменного. Условия Эйлера-Даламбера 192
Аналитическая функция. Дифференциал 195
Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Понятие о конформном отображении 197
§29. Интегрирование функции комплексного переменного 199
Определение, свойства и правила вычисления интеграла .. 199
Теорема Коши. Первообразная и неопределенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница 202
Интеграл Коши. Интегральная формула Коши 206
§ 30. Ряды в комплексной плоскости 209
Числовые ряды 209
Степенные ряды 210
Ряд Тейлора 212
Нули аналитической функции 214
Ряд Лорана 215
Классификация особых точек. Связь между нулем и полюсом функции 219
§ 31. Вычет функции 223
Понятие вычета и основная теорема о вычетах 223
Вычисление вычетов. Применение вычетов в вычислении интегралов 224
Глава IX. ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
§ 32. Преобразование Лапласа 227
Оригиналы и их изображения 227
Свойства преобразования Лапласа 230
Таблица оригиналов и изображений 241
§ 33. Обратное преобразование Лапласа 243
Теоремы разложения 243
Формула Римана-Меллина 245
§ 34. Операционный метод решения линейных дифференциальных уравнений и их систем 247
Приложения 251
С этим товаром покупают
Товар размещен в разделах
QR-код страницы
Для партнеров
с учмагом