Математика. Функции, уравнения, неравенства: задания повышенной сложности

Подробное описание

Послушай – и ты забудешь, посмотри – и ты запомнишь,
сделай сам – и ты поймешь.
Конфуций

Новая форма государственной итоговой аттестации учащихся (ЕГЭ) представляет собой способ измерения знаний учащихся. Результаты, полученные при тестировании, засчитываются вузами при поступлении и определяют дальнейшую профессиональную деятельность будущих специалистов. Поэтому качество подготовки школьников является важным аспектом педагогической деятельности. При подготовке к сдаче ЕГЭ необходимо не просто натренировать школьника на правильные ответы, но, прежде всего, научить его логически мыслить, развить способность анализа, пространственного воображения.

Достижение последнего возможно при наличии длительного времени на подготовку, сильной мотивации в изучении предмета, эффективной самостоятельной работы.

Математика принадлежит к основным фундаментальным дисциплинам, и необходимо улучшение качества ее преподавания. Учебные пособия, разработанные с помощью компьютерных технологий, должны способствовать более динамичному, глубокому обучению, развитию самостоятельности учащихся, нацеливать их на постоянное повышение образования. Наиболее важным аспектом любого образовательного процесса является интерес учащихся к предмету. При работе с компьютером активность учащихся возрастает. А комбинация математики, компьютерной графики и информационных технологий является существенным компонентом, который дает математический и технологический опыт и является динамическим путем образования.

Данное пособие по математике описывает примеры построения графиков, решения уравнений, неравенств, систем уравнений (в том числе и с параметрами) с помощью математического пакета MathCAD.

Использование MathCAD связано с тем, что:

• математическая система очень проста в использовании;
• включает большие графические возможности;
• учащиеся воспринимают обучение с помощью компьютера как занятие, повышающее их профессиональные знания.

Учебник состоит из четырех частей. Первая часть посвящена описанию основных свойств функций: четности и нечетности, периодичности, условиям возрастания и убывания функций. Пояснения свойств сопровождаются соответствующими графиками, построенными в пакете MathCAD. Вторая часть включает описание приемов работы в MathCAD 13 в объеме, достаточном для использования данного пособия. В третьей части показано построение графиков функций, решение уравнений, неравенств, систем уравнений и неравенств, в том числе с параметрами, в четвертой приведены индивидуальные задания, которые учащиеся выполняют самостоятельно.

Решения всех примеров сопровождаются подробными аналитическими и графическими пояснениями. Вводя код, в соответствии с изложенным в учебнике текстом, учащиеся строят графики, смотрят пересечение графиков с осями координат, определяют корни уравнений, систем уравнений, находят области знакопостоянства функций. При этом они могут самостоятельно менять параметры исследуемых задач и наблюдать изменения, которые происходят на экране. Таким образом, основные особенности графиков функций легко запоминаются, характер изменения становится понятным.

Пособие незаменимо при подготовке к ЕГЭ и может использоваться как при аудиторных занятиях, так и при самостоятельной работе. Например, решение задач с параметрами может сопровождаться соответствующими примерами, которые преподаватель демонстрирует с помощью интерактивной доски, поясняя влияние параметра на решение. Несомненную помощь данное пособие окажет слушателям при самостоятельной работе, поскольку позволит понять, как строятся графики, решаются уравнения, неравенства и т. д.

Как показывает опыт автора, учащиеся, использующие данное пособие при изучении математики, достаточно быстро осваивают математику в объеме, представленном в нем, и успешно отвечают на вопросы ЕГЭ.

Содержание

Введение    3

1. Основные теоретические положения    6

   1.1. Понятие функции. Числовые функции и способы их задания    6

   1.2. Общие свойства функций    10

   1.3. Исследование функций и построение их графиков    28

2. Исследование функций, решение уравнений и неравенств    58

   2.1. Исследование функций и построение графиков    58

   2.2. Решение уравнений и неравенств    81

   2.3. Решение систем уравнений    98

   2.4. Решение уравнений и неравенств с параметрами    105

   2.5. Решение систем уравнений с параметрами    122

3. Основные понятия, необходимые для работы в MathCAD    128

4. Практические задания    138

   4.1. Сложение гармонических функций    138

   4.2. Исследование и построение графиков элементарных функций    143

   4.3. Исследование и построение графиков уравнений параболы, гиберболы, эллипса    146

   4.4. Исследование функций и построение графиков    154

   4.5. Решение уравнений    159

   4.6. Решение неравенств    160

   4.7. Решение систем уравнений    163

   4.8. Решение уравнений с параметрами    166

   4.9. Решение неравенств с параметрами    169

   4.10. Решение систем уравнений с параметрами    171

5. Индивидуальные задания к практическим занятиям    175

   5.1. Сложение гармонических функций, построение графиков сумм гармонических функций    175

   5.2. Исследование и построение графиков элементарных функций    176

   5.3. Исследование и построение графиков уравнений параболы, гиперболы, эллипса.
        Определение директрисы и фокуса параболы. Определение фокуса гиперболы    177

   5.4. Исследование функций и построение графиков    178

   5.5. Решение уравнений аналитически и графически    179

   5.6. Решение неравенств аналитически и графически    179

   5.7. Решение систем уравнений    180

   5.8. Решение уравнений с параметром    181

   5.9. Решение неравенств с параметром    181

   5.10. Решение систем уравнений с параметром    182

Приложения    183

   Приложение 1. Функциональные («горячие») клавиши.    183

   Приложение 2. Тексты программ, приведенных в практических заданиях    185

Литература    196