Математика. 7-8 классы: задания для подготовки к олимпиадам

Подробное описание

От автора

Замечательно сказал основоположник русской науки Михаил Ломоносов: «Математику уже затем учить следует, что она ум в порядок приводит». Решить сложную, оригинальную, нестандартную задачу – огромнейшее интеллектуальное наслаждение для любого человека. Оригинальные находки, нестандартные подходы, изобретательные выходы из трудных положений являются мощнейшим катализатором интеллектуального развития растущего человека. Радость от достижений в интеллектуальной области – одна из самых величайших радостей человеческого духа. Через толщу веков, как огненный факел первооткрывателей, к нам пробился звонкий девиз ищущих, эмоциональный порыв победителей, гордый человеческий возглас: «Эврика! Я нашёл!». Его гордо и радостно воскликнул Архимед в минуту высочайшего интеллектуального напряжения, в минуту великого открытия, в минуту славной победы человека над незнанием.

Математика даёт уникальнейшую возможность воспитывать смекалку, сообразительность, находчивость, настойчивость, оригинальность решения, она будит мысли и призывает к точности и обоснованности рассуждений. Запомнились замечательные слова о молодом математике Эваристе Галуа: «Он читал страницу за страницей, и пред ним простое и прекрасное, как греческий храм, вставало здание геометрии. Вскоре всё окружающее: звуки, запахи, товарищи – исчезло. Здание росло у него на глазах. Читая быстро, он поймал себя на мысли, что угадывает, знает заранее, что будет дальше. Многие теоремы он предвидел и только просматривал чертежи в подтверждение своих мыслей».

Много лет преподаю я математику в школе. Я видел сотни ребят, которые с блестящими глазами, с небывалым подъёмом духа выходили с олимпиад и радостно сообщали, что они решили всё, буквально всё. Решили точно, оригинально, остроумно. Радость, испытанная во время победы на олимпиаде, остаётся с человеком на всю жизнь.

В изумительной книге Розы Петер «Игра с бесконечностью» есть такие проникновенные строки: «Я люблю математику не только потому, что она находит применение в технике, но также и потому, что она прекрасна, потому, что человек, если хотите, вложил в неё любовь к игре, и потому, что математика в состоянии справиться даже с самой увлекательной игрой – сделать возможным «ухватить бесконечность». Математика даёт нам чёткие сведения о бесконечности, о вещах, которые трудно даже вообразить. И в то же время она поразительно человечна и меньше всего похожа на пресловутое «дважды два – четыре»: математика несёт на себе печать никогда не кончающейся человеческой деятельности».

Работа с оригинальной, необычной, интересной задачей – важнейшая особенность в деятельности учителя математики. В последние годы стали разнообразнее и интереснее формы этой работы. Олимпиад все больше и больше. Их не счесть. Олимпиады классные, школьные, районные, зональные, областные, окружные, всероссийские, олимпиады различных вузов страны. Можно с полным основанием заявить, что систематическая и регулярная работа с олимпиадными задачками – важнейший залог успешного творческого неформального овладения математикой. Мне на всю жизнь запомнились мудрые слова академика А. И. Маркушевича: «Мы только тогда выполним свой долг перед молодым поколением, когда сумеем на своих уроках донести до ребят то безграничное мужество, любовь к людям и жертвенность, которые скрываются за скупыми строчками научных законов, формул и теорем».

Недаром в последнее время всё настойчивее пробивает дорогу мысль о том, что вступительные экзамены и ЕГЭ по математике – не единственный путь поступления в вуз. Альтернативой являются многочисленные олимпиады, которые кроме всего прочего дают их победителям и призёрам право поступления в высшие учебные заведения. Много лет подряд славятся олимпиады МГУ (например, олимпиады «Покори Воробьёвы горы»), олимпиады МФТИ, олимпиады МИФИ, олимпиады «Бауманки» и многие-многие другие.

Огромную радость доставляют также олимпиады «Кенгуру», которые превращаются в подлинный праздник мысли. Важно после каждой олимпиады проводить всесторонний разбор предлагаемых задач, рассматривать различные способы решения, радоваться таким находкам, которые в 2–3 фразы блестяще, полно и основательно решают поставленные задачи.

Задачи, представленные в пособии, дают обильный материал для учеников 7–8 классов, они позволят познакомиться с наиболее важными идеями и методами, заложенными в олимпиадных задачах. 13–14 лет – самый плодотворный возраст. И в это время крайне важна мудрая помощь учителя, доброе и заинтересованное участие родителей, мудрое наставничество бабушек и дедушек, которые умеют радоваться и сопереживать первым успехам пытливого и страстного молодого ума. Данная книга адресована и учителю математики, и увлечённому ученику, и заботливому родителю, которые понимают, что интеллектуальное богатство – это наиглавнейшее богатство, которое только можно передать в наследство своим детям.

Книгу можно разделить на 3 части. В первой части рассматриваются задачи, которые условно собраны по темам: «Натуральные числа», «Ума палата», «Делимость натуральных чисел», «Решение уравнений в целых числах», «Доли, дроби и проценты», «Уравнения почти без формул», «Задачи на движение», «Алгебраические формулы», «Числа и фигуры», «Полный перебор вариантов», «Логические задачи», «Графики», «Геометрические задачи», «Просто только на первый взгляд».

Во второй части сделаны подборки задач для проведения различных олимпиад для учащихся 7–8 классов. Здесь представлены турниры смекалистых, заочные олимпиады, «математические бои», командные первенства.

В третьей части предложены ответы, указания и решения. Задачи для классных, школьных и районных математических олимпиад даются либо в двух, либо в четырёх вариантах. Учащиеся найдут для себя богатый и разнообразный материал для подготовки к олимпиадам различного уровня, а учитель может использовать наборы олимпиадных задач в своей работе. Важно при этом, чтобы эта работа велась регулярно, продуманно, систематически, заинтересованно и увлечённо. Книга в руках заботливого родителя поможет подготовить ребят к решению умных и содержательных задач.

Содержание

От автора    3

«Ума палата» (1–35)    7

Натуральные числа (36–75)    18

Делимость натуральных чисел (76–110)    27

Решение уравнений в целых числах (111–130)    37

Доли, дроби и проценты (131–160)    42

Уравнения почти без формул (161–180)    51

Задачи на движение (181–205)    55

Числа и фигуры (206–235)    63

Алгебраические формулы (236–270)    69

Логические задачи (271–295)    75

Полный перебор вариантов (296–310)    82

Графики (311–320)    89

Геометрические задачи (321–345)    91

Просто только на первый взгляд (346–380)    96

Олимпиадные задачи для 7 класса

Олимпиада «После летних каникул» (381–390)    101

Турнир смекалистых (391–400)    102

Заочная олимпиада (401–410)    104

Командное первенство (411–420)    105

«Математический бой» (421–430)    107

Олимпиада 1 (431–450)    108

Олимпиада 2 (451–460)    111

Олимпиада 3 (461–470)    112

Олимпиада 4 (471–480)    113

Олимпиадные задачи для 8 класса

Олимпиада «После летних каникул» (481–490)    115

Турнир смекалистых (491–500)    116

Заочная олимпиада (501–510)    118

Командное первенство (511–520)    120

«Математический бой» (521–530)    121

Олимпиада 1 (531–540)    123

Олимпиада 2 (541–550)    124

Олимпиада 3 (551–560)    125

Олимпиада 4 (561–570)    127

Ответы, указания и решения

«Ума палата»    128

Натуральные числа    136

Делимость натуральных чисел    146

Решение уравнений в целых числах    154

Доли, дроби и проценты    161

Уравнения почти без формул    167

Задачи на движение    171

Числа и фигуры    179

Алгебраические формулы    192

Логические задачи    199

Полный перебор вариантов    209

Графики    214

Геометрические задачи    221

Просто только на первый взгляд    235

Олимпиадные задачи для 7 класса

Олимпиада «После летних каникул»    248

Турнир смекалистых    251

Заочная олимпиада    253

Командное первенство    256

«Математический бой»    257

Олимпиада 1    259

Олимпиада 2    262

Олимпиада 3    264

Олимпиада 4    266

Олимпиадные задачи для 8 класса

Олимпиада «После летних каникул»    268

Турнир смекалистых    270

Заочная олимпиада    273

Командное первенство    275

«Математический бой»    278

Олимпиада 1    280

Олимпиада 2    282

Олимпиада 3    284

Олимпиада 4    287

Приложение    289

Литература    291